カーネル密度推計 – GIS教材

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点の分布を面で捉えようという感じ。

標準偏差楕円も参照

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QGISでtokyoデータのコンビニデータ（cvs_jgd2011_9.shp）と行政区画のポリゴン（tokyo23ku_jgd2011_9.shp）は読み込み済みとします。

メニュで、プロセッシング　－＞　ツールボックスを開いて、

データ補間　－＞　ヒートマップ（カーネル密度推定）をダブルクリック

ポイントレイヤ　－＞　cvs_jgd2011_9

半径　－＞　500ｍ

ピクセルサイズ　－＞　20

出力ラスター名　－＞　適当にheatmap

で、実行。

こんな感じ。

背景の行政区画ポリゴンの境界線を見やすくします。

Heatmapのプロパティを開いて、

シンボル体系

色グラデーション　－＞　白から黒

色相　－＞　明るめの暖色系

透過性

不透明度　－＞　半分くらい

コンビニの表示は外しておきます。

こんな感じ。

 

 

 

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半径の値（バンド幅）を広くとったカーネルは広域的傾向把握に有効である。
一方で、局地的な値への対応が難しくなる。そのため、バンド幅の設定には注意する必要がある….だそうです。

i=1,・・・・・,nまでについて、観測値Xiが与えられている時、xにおけるカーネル密度の

推定値は以下のように求められる。

 

$$\Huge{\tilde{f_K}(x) = \frac{1}{nh}\sum_{ i = 1 }^{ n } K\begin{pmatrix} \frac{x – X_i}{h}\end{pmatrix}}$$

 

ただし、ｈはバンド幅。

K(z)はカーネル関数で、以下がよく用いられる。

 

 

Gaussianカーネル

$$\Huge{K(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^\frac{-z^2}{2}}$$

 

Epanechnikovカーネル

$$\LARGE{\begin{eqnarray}  K(z) = \begin{cases} \frac{3}{4}(1- \frac{1}{5}z^2)/\sqrt{5} & (if   |z| < \sqrt{5})\\ 0 & (otherwise)  \end{cases}  \end{eqnarray}}$$

 

Rectangularカーネル

$$\LARGE{\begin{eqnarray}  K(z) = \begin{cases}  \frac{1}{2} & (if |z| < 1) \\ 0 & (otherwise)   \end{cases}  \end{eqnarray}}$$

 

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カーネル関数はカーネルトリックとして機械学習でよく用いられる手法です。

 

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